Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．

Answer

方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．
（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．利用．求出二面角M-AC-B的余弦值．
（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．
方法2：（1）同方法一；
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为．利用．得到二面角M-AC-B的余弦值．
（3）利用点B到平面MAC的距离．
【解析】
方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）
（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，．
在Rt△AMN中，．
在Rt△NCH中，．
在Rt△MNH中，∵，∴．
故二面角M-AC-B的余弦值为．（8分）
（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，
∴点N到平面MAC的距离为．
∵点N是线段BC的中点，
∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）
方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
设P（0，0，z），则．．
∵，
且z＞0，∴，得z=1，∴．
设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由
得得∴．
平面ABC的一个法向量为．．
显然，二面角M-AC-B为锐二面角，∴二面角M-AC-B的余弦值为．（8分）
（3）点B到平面MAC的距离．（12分）