Question

已知斜率为-2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l₂与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范围．

Answer

（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；
（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；
（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
∵，，
∴两式相减得，即=0，即，得，
所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．
（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．
由，得，得，
即，将①代入②得（λ-3）m=0，
∵m≠0，∴λ=3．
（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0．
∵λ=3，
∴由消去x3、x4得，．
由△＞0得k2＞2（m2-1），即2（m2-1），即，即，解得，或．
所以m的取值范围为，或．