Question

在数列中，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n；
（3）求证：．

Answer

（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；
方法二：利用得到an的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；
（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的Tn，进而即可得出n为奇数时的Tn；
（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．
【解析】
（1）方法1：∵，且S1=a1=1，
∴当n≥2时，，且S1=1也适合．
当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．
方法2：∵nSn+1-（n+3）Sn=0，∴（n-1）Sn-（n+2）Sn-1=0，
两式相减，得n（Sn+1-Sn）=（n+2）（Sn-Sn-1），即nan+1=（n+2）an，即．
又∵可求得a2=3，∴也适合上式．综上，得．
当n≥2时，，且a1=1也适合，
∴．
（2）．设．
当n为偶数时，∵，
∴．
当n为奇数（n≥3）时，，且T1=c1=-4也适合上式．
综上：得．
（3）令f（x）=x-ln（1+x）．
当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．
令，得，
∴，
∴，
∴．