Question

如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，且CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，求二面角B-EF-D的最小值．

Answer

（Ⅰ）方法一：通过证明BD⊥平面ACEF，然后证明：BD⊥EF；方法二：通过空间向量的数量积为0，证明垂直关系．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用=，求二面角B-EF-D的最小值．
【解析】
（Ⅰ）证明：方法1：
连接AC．∵ABCD是正方形∴BD⊥AC            （2分）
∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD                       （4分）
∴BD⊥平面ACEF                                （6分）
∴BD⊥EF                               （7分）
方法2：
如图建立空间直角坐标系A-xyz
∵B（1，0，0），D（0，1，0）∴=（-1，1，0）（2分）
设F（0，0，h），那么E（1，1，λh），（4分）
则=（-1，-1，h-hλ）                                       （5分）
∴∴BD⊥EF．（7分）
（Ⅱ）∵B（1，0，0），F（0，0，0），E（1，1，λ）
∴，
则平面BEF的法向量是                                （9分）
平面ACEF的法向量是                                 （10分）
∴═==
  令2λ-1=t，
==  （13分）
由图形的对称性可知，二面角B-EF-D的最小值为60°．            （15分）