Question

已知二次函数f（x）满足．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=-mx的两根x₁和x₂满足x₁＜x₂＜1，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则抛物线的对称轴为．由此能求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（x）=x2-3x+1=-mx，得x2+（m-3）x+1=0．设g（x）=x2+（m-3）x+1，则抛物线的对称轴为．方程g（x）=0的两根x1和x2满足x1＜x2＜1，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则抛物线的对称轴为．
根据题意得，
解之得a=1，b=-3，c=1．
所以，函数f（x）的解析式为f（x）=x2-3x+1．
（Ⅱ）由f（x）=x2-3x+1=-mx得x2+（m-3）x+1=0．
设g（x）=x2+（m-3）x+1，
则抛物线的对称轴为．
方程g（x）=0的两根x1和x2满足x1＜x2＜1，
则有
解之得m＞5．
所以，实数m的取值范围为（5，+∞）．