Question

已知函数．
（Ⅰ）证明函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer

（Ⅰ）利用偶函数的定义即可证明；
（Ⅱ）设0＜x1＜x2，根据增函数的定义只需通过作差证明f（x2）＞f（x1）；
证明：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为D={x∈R|x≠0}．
设x∈D，则-x∈D，．
所以函数f（x）为偶函数．
（Ⅱ）设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，
则△x=x2-x1＞0，
=．
因为0＜x1＜x2，所以x2+x1＞0，x2-x1＞0，
所以△y＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．