Question

设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间[-4，6]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer

（Ⅰ）函数在区间[-2，2]上的解析式一定，找出函数的对称轴，由对称轴把区间[-2，2]分段，判出函数在两个区间上的单调性，则最大值和最小值可求；
（Ⅱ）函数f（x）=（2-x）（x-a）=-x2+（a+2）x-2a横过定点（2，0），根据a的不同取值范围对函数的对称轴所在的位置讨论，结合函数f（x）=（2-x）（x+4）=-x2-2x+8得到函数f（x）在区间[-4，6]上的单调性．最后通过比较极值与端点处的函数值得到函数在[-4，6]上的最大值．
【解析】
（Ⅰ）在区间[-2，2]上，f（x）=（2-x）（x+4）=-x2-2x+8．
其对称轴为x=-1，且开口向下，如图，

所以f（x）在区间[-2，-1]上单调递增，在区间[-1，2]上单调递减，
所以f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（-1）=-（-1）2-2×（-1）+8=9，
最小值为f（2）=-22-2×2+8=0．
（Ⅱ）当x＞2时，f（x）=（2-x）（x-a）=-x2+（a+2）x-2a
函数的对称轴为x=，且横过定点（2，0）．
当a≤2时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，6]上单调递减，
所以f（x）的最大值为f（-1）=9．
当2＜a≤8时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，
在单调递增，在上单调递减，
此时f（-1）=9，，所以f（x）的最大值为9．
当8＜a≤10时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，
在单调递增，在上单调递减．
此时，所以f（x）的最大值为．
当a＞10时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，在[2，6]单调递增，
此时f（6）=4（a-6）＞f（-1），所以f（x）的最大值为4（a-6）．
综上，