Question

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知数列{b_n}有求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由an=2an-1+1（n≥2），a4=15，代入计算，可求a1，a2，a3；
（Ⅱ）由an=2an-1+1（n≥2）得an+1=2（an-1+1），即可得到数列{an+1}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）【解析】
由an=2an-1+1（n≥2），及a4=15，知a4=2a3+1得a3=7
同理得a2=3，a1=1------（3分）
（Ⅱ）证明：由an=2an-1+1（n≥2）得an+1=2（an-1+1）
所以，数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列
所以，，
所以，数列{an}的通项公式为------（3分）
（Ⅲ）【解析】
∵，∴=
∴①②
由①-②错位相减得：
故：------（4分）