(Ⅰ)求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调性,从而可求f(x)的极小值;
(Ⅱ)求导数,利用0<x<e时,g'(x)>0,可得结论;
(Ⅲ)证明即可.
(Ⅰ)【解析】
∵f(x)=x-lnx,∴f′(x)=(x>0),
∴当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增
∴f(x)的极小值为f(1)=1------(4分)
(Ⅱ)证明:求导数可得
∴当0<x<e时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,e]上单调递增------(3分)
(Ⅲ)证明:∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,∴f(x)>0,f(x)min=1
∴------(3分)
∴f(x)>g(x)+.