Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^﹡，
（Ⅰ）设b_n+1=1+，n∈N^﹡，求证：
（1）=；
（2）数列{}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设，n∈N^﹡，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer

（Ⅰ）（1）通过bn+1=1+，化简an+1=，推出的比值，得到恒等式即可．
（2）通过（1）的关系式，利用两边平方，即可证明所证明的数列是等差数列，求出公差．
（Ⅱ）利用反证法证明等比数列{an}的公比为q=1，推出a1的范围，利用．推出b1、b2、b3中至少有两项相同，得到a1=．然后求出b1的值．
【解析】
（Ⅰ）（1）∵bn+1=1+，∴an+1==．
∴=．------（3分）
（2）因为=，所以 （n∈N*）．
∴数列{}是以1 为公差的等差数列．------（2分）
（Ⅱ）∵an＞0，bn＞0，∴．．
∴1＜an+1=≤．（﹡）
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0，下面用反证法证明q=1
若q＞1则a1=，∴当n＞logq时，an+1=a1qn，与（﹡）矛盾．
若0＜q＜1则，∴当n＞logq时，an+1=a1qn＜1，与（﹡）矛盾．
∴综上所述，q=1．∴an=a1，n∈N*，∴1．
又∵bn+1===bn，n∈N*，∴{bn}是公比是的等比数列．
若a1，则，于是b1＜b2＜b3．
又由an+1=即a1=，得．
∴b1、b2、b3中至少有两项相同，与b1＜b2＜b3矛盾．∴a1=．
∴bn=．
∴a1=b2=．------（5分）