Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

Answer

解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC⊥AD．
（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．
解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．
（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A-PC-D的平面角．在RT△DAH中求解
（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．
解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（-，，0），P（0，0，2）．
（1）证明：易得=（0，1，-2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．
（2）【解析】
=（0，1，-2），=（2，-1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即
取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=
所以二面角A-PC-D的正弦值为．
（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（ ，-，h）．由=（2，-1，0），故cos＜＞===
所以=cos30°=，解得h=，即AE=．

解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，
所以PC⊥AD．
（2）【解析】
如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角．
在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A-PC-D的正弦值为．
（3）【解析】
如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，
设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin=∠ADC=，故sin∠AFB=．
在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，
由余弦定理，BF2=AB2+AF2-2ABAFcos∠FAB，得出AF=，
设AE=h，在RT△EAF中，EF==，
在RT△BAE中，BE==，
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°=，
解得h=，
即AE=．