Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）当m=5时，求f（x）＞0的解集；
（II）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer

（I）当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x-2|＞5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f（x）＞0的解集；
（II）关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x-2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得实数m的取值范围．
【解析】
（I）当m=5时，原不等式可化为：|x+1|+|x-2|＞5，
①，解之，得x＞3；
②，解之，得不存在符合题意的实数x；
③，解之，得x＜-2
综上所述，当m=5时，f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞）                     …（5分）
（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1
由此可得：m的取值范围是（-∞，1）．                        …（10分）