Question

建造一个容积为8m³深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．

Answer

（1）设总造价为y元，一边长为xm，则函数y=底面积×池底造价+侧面积×池壁造价，代入数据计算即可，定义域是底边长的取值，为（0，+∞）；
（2）由（1）知函数，用定义证明其单调性如下：【步骤一：取值】即任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2【步骤二：作差，整理】即y1-y2==，【步骤三：比较，得结论】①当0＜x1＜x2≤2时，y1-y2＞0，即y1＞y2（函数单调递减）；②当2≤x1＜x2时，y1-y2＜0，即y1＜y2（函数单调递增）；
（3）由（2）知，x=2时，函数有最小值，计算f（2）即可．
【解析】
（1）设总造价为y元，一边长为xm，则，
即：定义域为（0，+∞）；
（2）函数在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；
用定义证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
则y1-y2=
=
=，
①当0＜x1＜x2≤2时，x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0；
∴y1-y2＞0，即y1＞y2；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x1＜x2时，x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0；
∴y1-y2＜0，即y1＜y2，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值ymin=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．