Question

四棱锥A-BCDE的侧面ABC是等边三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，BE=1，BC=CD=2，F是棱AD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer

（1）取AC中点M，连接FM、BM，可由中位线定理，线面垂直的性质定理，证得四边形BEFM是平行四边形，进而EF∥BM，再由线面平行的判定定理，得到结论
（2）取BC中点N，连接AN，可证得AN⊥平面BCDE，由（1）求出底面BCDE的面积S梯形BCDE，代入棱锥体积公式，可得答案．
证明：（1）取AC中点M，连接FM、BM，
∵F是AD中点，
∴FM∥DC，且FM=DC=1，
∵EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EB∥DC，
∴FM∥EB．
又∵EB=1，∴FM=EB，
∴四边形BEFM是平行四边形，
∴EF∥BM，
∵EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
【解析】
（2）取BC中点N，连接AN，
∵AB=AC，
∴AN=BC，
∵EB⊥平面ABC，
∴AN⊥EB，
∵BC与EB是底面BCDE内的相交直线，
∴AN⊥平面BCDE，
由（1）得，底面BCDE为直角梯形，S梯形BCDE==3，
在等边△ABC中，BC=2，
∴AN=，
∴V棱锥A-BCDE=S梯形BCDE•AN=．