Question

数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；
（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）由（II）中数列{an}的通项公式，及bn=n（n+1）an，我们易得到数列{bn}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）证明：由已知可得，
即，
即
∴数列是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1（10分）
相减得：=2n+1-2-n•2n+1（12分）
∴Sn=（n-1）•2n+1+2