Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

Answer

（1）连接A1D，B1C，证明AD1⊥平面A1B1CD，即可证得结论；
（2）取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行．
（1）证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E⊂平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）【解析】
存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQ=A1B1，
∵DE∥A1B1，且DE=A1B1，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PQ∥DE
又PD⊄平面AB1E，QE⊆平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时AP=AA1．