Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer

（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；
（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．
【解析】
（1）如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC2=BD•BE，
∵tan∠CED=，∴．
∵△BCD∽△BEC，∴，
设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），
解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．