Question

在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD=    ．

Answer

先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2-2CD 得AC2=4BD2+2-4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．
用余弦定理求得
AB2=BD2+AD2-2AD•BDcos135°
AC2=CD2+AD2-2AD•CDcos45°
即 AB2=BD2+2+2BD  ①AC2=CD2+2-2CD   ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以 由（2）得AC2=4BD2+2-4BD（3）
因为  AC=AB
所以 由（3）得 2AB2=4BD2+2-4BD  （4）
（4）-2（1）
BD2-4BD-1=0
求得 BD=2+
故答案为：2+