Question

已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足，（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）用坐标表示出的坐标，利用即得动点P的轨迹方程；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及，利用数量积公式，即可求得直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（1）设P（x，y），E（-1，y1），F（-1，y2）（y1、y2均不为0）
由得y1=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得，即F（-1，-）
∵，∴
∴（-2，y1）•（2，y2）=0
∴y1y2=-4，∴y2=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）
（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（），N（）
联立得消去x得ky2-4y+8=0
∴，，且△=16-32k＞0即k＜．
∴=（）•（）=（）•（）+y1y2
==     
∵，∴-12＜k＜0，满足k＜，
∴-12＜k＜0．