Question

如图，已知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

Answer

（1）连接AC，BD交于O点，由题意可知，OE为△AA1C的中位线，由线面平行的判定定理可证OE∥平面A1C1C；
（2）可补全长方体ABCD-A'B'C'D'，利用长方体的体积减去四个三棱锥（以A为顶点，A′A1D1等为底面）的体积即可得答案；
（3）CD⊥平面ADD1，可知CD⊥AD1，若AD1⊥DB1，AD1⊥平面CDD1B1，从而有AD1⊥DD1，取AD中点M，在RtADD1中，2D1M=AD，即可得到a=2b．
证明：（1）连接AC，BD交于O点，
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，
∴OE∥A1C，
∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C；
（2）多面体表面共包括10个面，补全长方体ABCD-A'B'C'D'，则知多面体ABCD-A1B1C1D1体积为：
=VABCD-A′B′C′D′-4
=4×4×2-4×××2×2×2
=，
（3）易知CD⊥平面ADD1，D1B1∥DC，D1B1，OC确定平面CDD1B1，
∵AD1⊂平面ADD1，
∴CD⊥AD1，若AD1⊥DB1，
∵DB1∩CD=D，
∴AD1⊥平面CDD1B1，
∵DD1⊂平面CDD1B1，
∴AD1⊥DD1，取AD中点M，
则D1M∥A'A，且D1M=A'A，
∴在RtADD1中，2D1M=AD，即a=2b
即：当a=2b时，AD1⊥DB1．