Question

已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）利用函数f（x）=是奇函数，可得q=0，即，根据f（2）=-，可得p=2，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）根据，可得，从而有f（）=f（x）；
（3）增函数．设x1＜x2，x1，x2∈（0，1），再作差，变形，从而定号下结论．
【解析】
（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴
∴q=0，∴
∵f（2）=-，∴p=2
∴
（2）证明：∵
∴
∴f（）=f（x）；
（3）增函数
设x1＜x2，x1，x2∈（0，1）
=-
∵x1＜x2，x1，x2∈（0，1）
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调增