Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，为AB中点．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）当二面角P-EC-D的大小为时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

Answer

（Ⅰ）直接利用直线与平面垂直的判定定理证明ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）解法一：作DM⊥EC于点M，连接PM，说明∠DMP为二面角P-EC-D的平面角为，在直角三角形DEC中，求k的值；
解法二：以点D为原点O，射线DE，DC，DP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz．求出平面PEC的法向量，平面DEC的法向量，利用二面角即可求出k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，解法一：设平面PBA的法向量为，
通过，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．
解法二：设点C到平面PAB的距离为h，利用VP-ABC=VC-PAB，求出，然后求解直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接DB，由题知△ABD为正三角形，∴ED⊥AB，…（1分）
∵AB∥DC，∴ED⊥DC，
又PD⊥平面ABCD，∴ED⊥PD，∴ED⊥平面PDC；…（3分）
（Ⅱ）解法一：作DM⊥EC于点M，连接PM，
∵DM为斜线PM在平面ABCD的射影，∴PM⊥EC，
∴∠DMP为二面角P-EC-D的平面角，故，…（5分）
在直角三角形DEC中，，
因为，所以．…（7分）
解法二：以点D为原点O，射线DE，DC，DP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向
建立空间直角坐标系O-xyz．则，…（4分）
设平面PEC的法向量为，，
可得，…（5分）
又平面DEC的法向量可为，由
化简得．…（7分）
（Ⅲ） 解法一：设平面PBA的法向量为，
，
可得，…（8分）
又，因此sinθ===…（10分）
解法二：设点C到平面PAB的距离为h，则，…（8分）
又，因为VP-ABC=VC-PAB，所以，…（9分）
因此sinθ=．…（10分）