Question

已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．
（Ⅰ） 求双曲线E的方程；
（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用点到直线的距离公式求得a，再根据焦距，求得b．
（II）假设存在满足条件的点M，先在直线垂直于y轴时，求得定值，再结合韦达定理根与系数的关系，分析验证直线不垂直于y轴时，求得此定值的情况，从而得出结论．
【解析】
（Ⅰ）原点到直线 x-y+=0的距离d==，
∴，∴b=1，
∴双曲线E的方程为；         
（Ⅱ）解法一：假设存在点M（m，0）满足条件，
①当直线l方程为y=0时，则，∴；
②当直线l方程不是y=0时，可设直线l：x=ty+m，代入
整理得，*
由△＞0得m2+t2＞9，
设方程*的两个根为y1，y2，满足，∴=，
当且仅当2m2+12m+15=3时，为定值1，
解得，
∵不满足对任意t≠±，△＞0，∴不合题意，舍去．
而且满足△＞0；
综上得：过定点任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使为定值1．
解法二：前同解法一，得=，
由⇒2m2+12m+15=3，
解得，下同解法一．
解法三：当直线l不垂直x轴时，设，代入
整理得，*
由△＞0得m2k2-3k2+1＞0，
设方程*的两个根为x1，x2，满足，
∴=，
当且仅当2m2+12m+15=3时，为定值1，
解得，
∵不满足对任意K≠±，△＞0，∴不合题意，舍去，
而且满足△＞0；   
当直线l⊥x轴时，代入得，
∴；…（9分）
综上得：（结论同解法一）