Question

已知点A是抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交与点K，已知|AK|=|AF|，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H．求|GH|的最小值．

Answer

（Ⅰ）设A（x，y），因为抛物线的焦点F（，0），准线的方程为：x=-，K（-，0），作AM⊥l于M，则|AM|=x+=|AF|，由此能求出p．
（Ⅱ）由y2=8x，得F（2，0），设l1的方程为y=k（x-2），l2的方程为y=-（x-2）．由 得G（2+，），同理可得H（2+4k2，-4k），由此能求出|GH|的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设A（x，y），
因为抛物线的焦点F（，0），
准线的方程为：x=-，K（-，0），
作AM⊥l于M，，
则|AM|=x+=|AF|
又|AK|=|AF|得|AK|=|AM|，
△AKM即为等腰直角三角形，
∴|KM|=|AM|=x+，即A（x，x+），
而A点在抛物线上，
∴=2px，
∴x=，于是（，p）．
又∵S△AFK=•|KF|•|y|=•p•p==8，
p=4．
（Ⅱ）由y2=8x，得F（2，0），
显然直线l1，l2的斜率都存在且都不为0．
设l1的方程为y=k（x-2），则l2的方程为y=-（x-2）．
由 得G（2+，），
同理可得H（2+4k2，-4k）
则|GH|2=+
=16（k4++k2+）≥64．（当且仅当k2=时取等号）
所以|GH|的最小值是8．