Question

下列命题：
①函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②已知向量，，，则的充要条件是λ=-1；
③若，则a=e；
④圆x²+y²=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．
其中所有的真命题是（ ）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③

Answer

先化简表达式，变成一个角的三角函数，再根据公式求出周期，判断①的正误；通过向量的平行，求出彩涂卷，判断②的正误；利用积分运算求出a值判断③的正误；利用圆心在直线上判断④的正误；
【解析】
对于①∵f（x）=sin4x-cos4x=（cos2x+sin2x）（sin2x-cos2x）=sin2x-cos2x=-cos2x，
∴f（x）的最小正周期是T==π，所以①正确．
对于②∵向量，，，∴=（λ-1，1+λ2），
∴⇒（λ-1）+（1+λ2）=0⇒λ=0或λ=-1；
λ=-1⇒=（-2，2）⇒（）∥，
∴（）∥的充分不必要条件是λ=-1．故命题是假命题；
对于③，，转化为：，解得a=e，③正确；
对于④，圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0，④不正确．
正确命题是①③．
故选D．