Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

Answer

（1）把函数f（x）=xlnx代入g（x）=f（x）-a（x-1），求导后利用导函数的正负求解函数g（x）的单调区间；
（2）设出切点，求出函数在切点处的导数，利用直线方程的点斜式写出直线方程，把点（0，-1）代入求切点的横坐标，则切线方程可求．
【解析】
（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
则g′（x）=lnx+1-a，
由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜ea-1；
由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞ea-1．
所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，+∞）上单调递增．
（2）设切点坐标为（x，y），则y=xlnx，切线的斜率为lnx+1．
所以切线l的方程为y-xlnx=（lnx+1）（x-x），
又切线l过点（0，-1），所以有-1-xlnx=（lnx+1）（0-x），
即-1-xlnx=-xlnx-x，
解得x=1，y=0，
所以直线l的方程为y=x-1．