Question

已知两定点M（-1，0），N（1，0）若直线上存在点P，使得|PO|²=|PM|•|PN|（O为坐标原点），则该直线为“A型直线”．给出
下列直线，其中是“A型直线”的是（ ）
①y=x+1   
②
③y=-x+3
④y=-2x+3．
A．①④
B．①③
C．②③④
D．①③④

Answer

设P（x，y），根据|PO|2=|PM|•|PN|和两点的距离公式算出x2-y2=1，从而得到点P的轨迹是焦点在x轴上的等轴双曲线．由此，再判断①②③④中的直线与双曲线x2-y2=1是否有交点，即可得到“A型直线”的条数，得到本题的答案．
【解析】
设P（x，y），可得|PO|2=x2+y2，
|PM|=，|PN|=
∵|PO|2=|PM|•|PN|，
∴x2+y2=•，
化简整理，得x2-y2=1
∴点P的轨迹是x2-y2=1，是焦点在x轴上的等轴双曲线
对于①，因为直线y=x+1与双曲线x2-y2=1的渐近线y=x平行，
所以直线y=x+1与双曲线x2-y2=1必定有一个交点，
即存在点P，使得y=x+1是“A型直线”；
对于②，因为直线过双曲线虚轴上一点与轴虚垂直，所以直线与双曲线x2-y2=1没有交点
故不存在点P，使得是“A型直线”；
对于③，因为直线y=-x+3与双曲线x2-y2=1的渐近线y=-x平行，所以直线y=-x+3与双曲线x2-y2=1必定有一个交点，
即存在点P，使得y=-x+3是“A型直线”；
对于④，因为直线y=-2x+3经过x轴上点（，0），该点在双曲线x2-y2=1的张口以内
所以直线y=-2x+3与双曲线x2-y2=1必定有一个交点，即存在点P，使得y=-x+3是“A型直线”
综上所述，满足是“A型直线”的有①③④，共3个
故选：D