(1)由题意可得,f(-x)=f(x),化简可得(b-1)(ax-a-x)=0,由此解得 b的值.
(2)设0≤x1<x2,化简f(x1)-f(x2)为 ,当a>1时,可得f(x1)<f(x2),故f(x)为[0,+∞)上的增函数.当a<1时,可得
f(x1)<f(x2),f(x)为[0,+∞)上的增函数.
(3)条件等价于对任意x∈[2,4]恒成立.令t=log2x,等价于-t2+3t-1≤m≤t2+t+1对任意t∈[1,2]恒成立,求得-t2+3t-1在[1,2]上的最大值和 t2+t+1在[1,2]上的最小值,即可求得实数m的取值范围.
【解析】
(1)由题意可得,f(-x)=f(x),可得 a-x+b•ax =ax+b•a-x ,∴(b-1)(ax-a-x)=0,解得 b=1.…(3分)
(2)设0≤x1<x2,∵=
==,
当a>1时,,可得f(x1)<f(x2),故f(x)为[0,+∞)上的增函数.
当a<1时,,可得f(x1)<f(x2),f(x)为[0,+∞)上的增函数.
综上可得,当a>0,a≠1时,f(x)为[0,+∞)上的增函数.…(7分)
(3)对任意x∈[2,4]恒成立,等价于 对任意x∈[2,4]恒成立,
等价于 对任意x∈[2,4]恒成立,
等价于对任意x∈[2,4]恒成立.
令t=log2x,问题等价于-t2+3t-1≤m≤t2+t+1对任意t∈[1,2]恒成立.
由于函数-t2+3t-1在[1,2]上的最大值为,t2+t+1在[1,2]上的最小值为 3,
故问题等价于 ,故实数m的取值范围为[,3].…(12分)