Question

已知圆x²+y²-2ax-6ay+10a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．
（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．

Answer

先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心C，半径r
（1）若a=2，则可求C，r，由弦AB过圆心时最长可求|AB|max=2r，即可求
（2）先求出圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离d，若使弦长|AB|的最大值，则先表示出弦AB，然后根据二次函数的性质可求
（3）先求出圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d，由直线L是圆心C的切线，可知d=r，从而可求m，a的关系，由a的范围可求m的范围
【解析】
圆C的方程可化为（x-a）2+（y-3a）2=4a
∴圆心C（a，3a0，半径r=2
（1）若a=2，则C（2，6），r=2
∵弦AB过圆心时最长
∴|AB|max=4
（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离
d=，r=2
直线与圆相交，∴d＜r，∴a2-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴
又|AB|=2，
∴当a=2时，|AB|max=2，
（3）圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d=
∵直线L是圆心C的切线，
∴d=r，即，
∴m=2a±
∵直线L是圆心C下方，
∴m=2a-2
∵a∈（0，4]，
∴当a=时，mmin=-1；  当a=4时，mmax=8-4，
故实数m的取值范围是[-1，8-4]