Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=45°．
（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（II）求异面直线VD和BC所成角的余弦．

Answer

（I）根据线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．
（II）通过作平行线，作出异面直线所成的角，再在三角形中求角．
【解析】
（Ⅰ）∵AC=BC=a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC．AB⊂平面ABC，
∴VC⊥AB．∵VC∩CD=C，
∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ） 过点D在平面ABC内作DE∥BC交AC于E，
则∠VDE就是异面直线VD和BC所成的角．
在△ABC中，，又；
∵BC⊥平面VAC，∴DE⊥平面VAC，∴△VDE为直角三角形，VD=a，，
∴
∴异面直线VD和BC所成角的余弦．