Question

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”；
（I）求点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标；
（II）求点P（4，0）的所有“相关弦”的弦长的最大值．

Answer

（Ⅰ）利用直线的点斜式、线段的垂直平分线、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式、抛物线的标准方程即可得出；
（Ⅱ）利用直线的点斜式、线段的垂直平分线、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式、抛物线的标准方程、直线与抛物线的方程联立、根与系数的关系、弦长公式即可得出．
【解析】
（I）设AB为点P（4，0）的任意一条“相关弦”，且点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
弦AB的垂直平分线方程为，
由题意它与x轴相交于点P（4，0），
令y=0⇒，
∴，
∴点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设中点为（2，ym），这里
直线AB的斜率，
∴弦AB所在直线的方程是，
代入y2=4x中，整理得（*）
则x1、x2是方程（*）的两个实根，且x1+x2=4，，
设点P（4，0）的“相关弦”AB的弦长为l，则，
∴，
∴，
∴lmax=6．