Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）；
（Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较与1的大小，并给与证明．

Answer

（Ⅰ）设0≤x1＜x2≤1，由f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1），结合对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0及函数单调性的定义，可判断f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）由（I）中函数的单调性，可得f（x）≤f（1）=1，进而分f（x）=1，和f（x）＜1两种情况讨论实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．
（Ⅲ）Sn=，利用错位相减法，可求出Sn的表达式，判断出Sn与1的大小，进而结合（I）中所得函数的单调性得到结论．
证明：（Ⅰ）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1）
∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0
即f（x2）＞f（x1）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
【解析】
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
对x∈[0，1]恒成立，
设，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令Sn=----------①，
则=--------------②，
由①-②得，=，即，Sn==
所以．