Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．

Answer

（1）连接A1C，证明AE⊥A1C，AF⊥A1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C⊥面AEF；
（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．
证明：（1）连接A1C
正四棱柱⇒CB⊥平面ABB1A1⇒CB⊥AE
又∵AE⊥A1B
∴AE⊥平面A1BC⇒AE⊥A1C
同理可得：AF⊥A1C
∴A1C⊥平面AEF
（2）∵AE⊥A1B⇒Rt△ABA1∽Rt△ABE⇒∠ABA1=∠BEA，
如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，
又   底面边长是，侧棱长是3
∴，
得   ，BE=1
同理     DF=1
又  ，
∴．