Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；
（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．
【解析】
（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
将M（1，2）代入方程得p=2
∴抛物线方程为：y2=4x
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）1，F2（1，0），
∴c=1
对于椭圆，
∴，
所以椭圆方程为
对于双曲线，
∴，
所以双曲线方程为
（2）设
由|PQ|≥|a|得，
t2+16-8a≥0，t2≥8a-16恒成立
则8a-16≤0，a≤2
∴a∈（-∞，2]