Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令，T_n=，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer

（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a2-4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用Sn与an的关系即可求得an．
（2）由（1）求得bn，根据其结构特征利用错位相减法即可求得Tn；
（3）先求出Cn，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c1=-3，c2=5，c3=-3，可得此处变号数，从而可求得数列{cn}的变号数．
【解析】
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4，
∴，
∴；
（2）∵=，
∴bn=n，
，①
，②
①-②得，-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1，
∴；
（3）由题设
∵n≥3时，，
∴n≥3时，数列{cn}递增，
∵，由，
可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，
即c1•c2＜0，c2•c3＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3；