Question

已知函数f（x）=且f（1）=2，
（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．

Answer

（1）依题意，可求得a=1，利用奇偶函数的定义即可判断f（x）在定义域上的奇偶性；
（2）设1＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），判断即可．
【解析】
（1）∵f（x）=，f（1）=2，
∴a=1
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）
=（x1-x2）+（-）
=（x1-x2）（1-）
=（x1-x2）（），
∵1＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．