Question

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

Answer

（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率．
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．
（1）直线l的方程为，其中．
联立 得 ．
解得，．
因为，所以-y1=2y2．即-=2 ，
解得离心率．（6分）
（2）因为，∴•．
由 得，所以，解得a=3，．
故椭圆C的方程为．（12分）