Question

如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求证：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）若D₁D=BD，求四棱锥D-A₁BCD₁的体积．

Answer

（Ⅰ） 由D1D⊥平面ABCD，可证 D1D⊥AD．△CBD 中，勾股定理可得 CB⊥BD，由线面垂直的判定定理可证A1D1⊥平面BDD1B1，再由平面与平面垂直的判定定理可证平面A1BCD1⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中A1D1⊥平面BDD1B1，四棱锥D-A1BCD1的体积转化为两个三棱锥的体积求解即可．
证明：（Ⅰ）因为底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
所以BC=1，∠DBC=90°，可得AD⊥BD，
因为几何体是四棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以A1D1⊥B1D1，
又D1D⊥底面ABCD，所以AD⊥D1D，可得A1B1⊥D1D，
又B1D1∩D1D=D1，
所以A1D1⊥平面BDD1B1，A1D1⊂平面A1BCD1，
∴平面A1BCD1⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中A1D1⊥平面BDD1B1，四棱锥D-A1BCD1的体积转化为三棱锥A1-DD1B与C-DD1B的体积的和，而且两个体积相等，
∵AD=1，CD=2，∠DCB=60°．所以BD=，D1D=BD=，
∴===．
所以是棱锥的体积为2×=1．