Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=，AF=BE=2，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．
（I）求证：PQ∥平面BCE；
（II）求证：AM⊥平面ADF；
（III）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer

（I）连结AC，证明PQ∥EC，利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面BCE；
（II）直接利用直线与平面垂直的判定定理证明AM⊥平面ADF；
（III）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过空间向量的数量积求出二面角A-DF-E的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）连结AC，因为四边形ABCD是矩形，
Q为BD的中点，所以Q为AC的中点，
又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC，
∵EC⊂平面BCE中，PQ⊄平面BSE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M为EF的中点，∴EM=AB=2，
又∵EF∥AB，∴四边形ABEM是平行四边形，
又AF=2，MF=2，∴△MAF是直角三角形，∠MAF=90°，
∴MA⊥AF，
∵DA⊥面ABEF，MA⊂平面ABEF，∴MA⊥DA，
又∵DA∩AF=A，
∴AM⊥平面ADF；

（Ⅲ）如图，以A坐标原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
可得=（2，0，0），，，
设平面DEF的法向量为=（x，y，z），
则故
令x=1，则y=1，z=2故．
∵AM⊥平面ADF，
所以为平面ADF的一个法向量，
所以，
所以所求二面角A-DF-E的余弦值为．