Question

如图所示，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC．
①求证：平面PAC⊥平面ABC；
②求三棱锥A-MBC的体积．

Answer

①由∠PCB=90°，得PC⊥CB，又AB⊥PC，利用线面垂直的判定可以证明PC⊥平面ABC，继而得到面面垂直；
②由PC⊥平面ABC，根据面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由两面垂直的性质定理可得三棱锥A-MBC的高，解直角三角形求出三棱锥A-MBC的高，则体积可求．
①证明：∵∠PCB=90°，∴PC⊥CB，又PC⊥AB，且AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
②∵PC⊥平面ABC，PC⊂平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，
如图，
在平面ABC中过A作AD垂直于BC的延长线与D，则AD⊥平面PCBM，则AD为三棱锥A-MBC的高，
∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=ACsin60°=1×=．
又S△BMC=S四边形PCBM-S△MPC==．
∴．
所以，三棱锥A-MBC的体积为．