Question

已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．证明：点F在直线BD上．

Answer

（Ⅰ）根据C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求曲线C的方程；
（Ⅱ）设出A，B，D的坐标，l的方程代入y2=4x，利用韦达定理，进而确定直线BD的方程，由此即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
根据题意知，C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，…2分
其中p=2，所以抛物线方程为y2=4x．
又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为y2=4x（x＞0）．…2分
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（x1，-y1），l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y2=4x，整理得y2-4my+4=0，
∴从而y1+y2=4m，y1y2=4．…2分
直线BD的方程为，即，…2分
令y=0，得，所以点F（1，0）在直线BD上．…2分．