Question

已知椭圆的离心率为，a=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M（-，0），求证：为定值；
②求三角形OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer

（1）通过椭圆的离心率以及a，求出b，即可求解椭圆C的方程；
（2）①点M（-，0），设出A、B两点坐标，将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得为定值．
②利用弦长公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．
【解析】
（1）因为已知椭圆的离心率为，a=．
所以c=ae=，所以b==，
所以椭圆方程为：．
（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=（x+1），代入中，
得（1+）x2+x+-5=0，
△=-4（+1）（-5）=+20＞0，x1+x2=-，x1x2=，
所以=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2
=（x1+）（x2+）+（x1+1）（x2+1）
=（1+）x1x2+（+）（x1+x2）++
=（1+）+（+）（-）++=；
②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=，
S△AOB=|ON||y1-y2|=×1×=，
令12+5m2=t，则t≥12，m2=
∴S△AOB==，
∵t≥12，是增函数，
∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为．