Question

已知f（x）=x³-3x²+2，x₁，x₂是区间[-1，1]上任意两个值，M≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，则M的最小值是（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4

Answer

对任意x1，x2∈[-1，1]，M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，等价于M≥f（x）max-f（x）min，利用导数即可求得函数f（x）的最大值、最小值．
【解析】
f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
当-1≤x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值，也为最大值，f（0）=2，
又f（-1）=-2，f（1）=0，
所以f（x）的最小值为-2，
对[-1，1]上任意x1，x2，|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=4，
所以M≥|f（x1）-f（x2）|恒成立，等价于M≥4，及M的最小值为4，
故选D．