Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于点N，M是PD中点．
（1）用空间向量证明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求点N到平面ACM的距离．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量数量积运算公式，求解．
（3）根据AN⊥PC，利用射影定理求出，再利用公式求出P的平面的距离，然后求N到平面的距离．
【解析】
（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）
=（-2，-2，2），=（0，2，2），
∵=-4+4=0，∴CM⊥AM
∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）设=（x，y，z）是平面ACM的法向量，则，令z=-1，得=（-2，1，-1）
=（-2，0，0）
设直线CD与平面ACM所成角为α，则sinα==．
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN×PC，PC=6，∴PN=，则NC=PC-PN=，=，∴所求距离等于点P到平面ACM距离的，
设点P到平面ACM距离为h，则h=||==，
∴点N到平面ACM的距离为．