Question

过点M（m，1）作直线AB交抛物线x²=y于A、B两点，且|MA|=|MB|，过点M作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）求△ABC的面积的最大值，并求此时m的值．

Answer

（I）利用直线与抛物线的相交弦中点是M，结合韦达定理及直线与抛物线相交的条件求解；
（II）将三角形的面积表示为关于m的函数，再求函数的最值即可．
【解析】
（I）设AB直线方程为y=k（x-m）+1
代入抛物线方程x2=y得，x2-kx+mk-1=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵M是AB的中点，所以，即k=2m
方程（*）即为：x2-2mx+2m2-1=0（**）
由△=4m2-8m2+4＞0得-1＜m＜1
∴m的取值范围是（-1，1）
（II）∵M（m，1），C（m，m2），MC⊥x轴，
∴|MC|=1-m2，
由方程（**）得
∴S△ABC=SACM+SBCM=
=
==≤1
所以△ABC的面积的最大值为1，此时m=0