Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，已知AC⊥BC，AB⊥BB₁，CD⊥平面AA B₁B，AC=BC=2．
（I）求证：BB₁⊥平面ABC；
（II）设，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（I）利用直线与平面垂直的判定定理证明BB1⊥平面ABC；
（II）求出CD，在Rt△CDA1中，，求出A1C．然后在Rt△CAA1中，求出AA1，然后求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
又CD⊥平面AA B1B，．∴CD⊥BB1，
BB1⊥AB，AB∩CD=DF，
∴BB1⊥平面ABC；
（Ⅱ）【解析】
因为AC⊥BC，AC=BC=2所以CD=，
又在Rt△CDA1中，，
所以A1C==2．
又在Rt△CAA1中，AA12=（2）2-22=4，
所以AA1=2，
所以所求体积为V==4．