Question

已知函数，f（x）=x³-ax²-9x+11且f′（1）=-12．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）的极值．

Answer

（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（1）=-12求出a的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）由导函数大于0求出原函数的增区间，由导函数小于0求出原函数的减区间，则极值点可求，把极值点的横坐标代入函数解析式可求得函数的极值．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x3-ax2-9x+11，得：f′（x）=3x2-2ax-9，
又f′（1）=3×12-2a-9=-12，∴a=3．
则f（x）=x3-3x2-9x+11；
（Ⅱ）由f′（x）=3x2-2ax-9=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）．
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数．
∴函数f（x）的极大值为f（-1）=16，极小值为f（3）=-16．