Question

已=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），满足．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若对所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer

（1）根据向量的数量积公式可求出f（x）的解析式，然后利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，最后利用周期公式可求出所求；
（2）根据对所有的x∈R恒成立可求出角A，然后利用余弦定理求出b与c的等量关系，利用基本不等式和构成三角形的条件可求出b+c的取值范围．
【解析】
（1）∵，=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），
∴（2cosx+2sinx）cosx-y=0
即f（x）=（2cosx+2sinx）cosx
=2cos2x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=1+2sin（2x+）
T==π
∴f（x）的最小正周期为π．
（2）∵对所有的x∈R恒成立
∴1+2sin（2x+）≤1+2sin（A+）对所有的x∈R恒成立
即sin（2x+）≤sin（A+）对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角
∴A=
∴cosA=cos=即b2+c2=4+bc即（b+c）2=4+3bc≤4+3
∴（b+c）2≤16即b+c≤4
而b+c＞a=2
∴2＜b+c≤4即b+c的取值范围为（2，4]