Question

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，满足．
（ I）若k=1，求数列{a_n}的通项公式；
（ II）若数列{a_n-2n-1}为公比不为1的等比数列，求S_n．

Answer

（1）当k=1时，Sn=an+n2-n，而an=Sn-Sn-1（n≥2），可求得Sn=n2+n，从而可求得数列{an}的通项公式；
【解析】
（1）当k=1时，Sn=an+n2-n，
∴Sn-1=n2-n，（n≥2），
∴Sn=（n+1）2-（n+1）=n2+n（n≥1）
∴当n=1时，a1=S1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n，
所以数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）．
（ II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=kan-kan-1+2n-2，
∴（k-1）an=kan-1-2n+2，a1=S1=ka1，
若k=1，则an-2n-1=-1，
从而{an-2n-1}为公比为1的等比数列，不合题意；
若k≠1，则a1=0，a2=，a3=，a1-3=-3，a2-5=，a3-7=，
由题意得，=（a1-3）（a3-7）≠0，
∴k=0或k=，
当k=0时，Sn=n2-n，an=2n-2，an-2n-1=-3，不合题意；
当k=时，an=3an-1-4n+4，从而an-2n-1=3[an-1-2（n-1）-1]，
∵a1-2×1-1=-3≠0，an-2n-1≠0，{an-2n-1}为公比为3的等比数列，
∴an-2n-1=-3n，
∴an=2n-3n+1，
∴Sn=n2+2n-+．