Question

某次考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生：
（Ⅰ）得40分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的数学期望．

Answer

（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，由此能求出得40分的概率．
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．得25分的概率，得30分的概率，得35分的概率，得40分的概率．由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（Ⅰ）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，
所以得40分的概率为．…4分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{25，30，35，40}．
得25分是指做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为，
得30分是指做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为，
得35分是指做对5题，其余3题做对2题，所以概率为，
得40分是指做对8题，所以概率为．
得ξ的分布列为：

ξ 25 30 35 40
p

所以Eξ==．